简述有限元法结构刚度矩阵的特点(有限元单元刚度方程)

邯郸钢结构设计昨天5.93 K阅读1评论

温馨提示：这篇文章已超过584天没有更新，请注意相关的内容是否还可用！

今天给各位分享简述有限元法结构刚度矩阵的特点的知识，其中也会对有限元单元刚度方程进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！结构被选择性地离散，和高级理论构成了有限元发展的主要研究方向。

今天给各位分享简述有限元法结构刚度矩阵的特点的知识，其中也会对有限元单元刚度方程进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文目录一览：

1、有限元法有什么特点和优势
2、有限元中总体刚度矩阵有哪些特点
3、关于有限元刚度矩阵的特性问题

有限元法有什么特点和优势

一、有限元法简述有限元法结构刚度矩阵的特点的特点：

1、把连续体划分成有限个单元简述有限元法结构刚度矩阵的特点，把单元简述有限元法结构刚度矩阵的特点的交界结点(节点)作为离散点;

2、不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。

3、理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。

4、具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。

它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。

5、在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。

二、有限元法的优点

1、物理概念浅显清晰，易于掌握。有限元法不仅可以通过非常直观的物理解释来被掌握，而且可以通过数学理论严谨的分析掌握方法的本质。

2、描述简单，利于推广。有限元法由于采用了矩阵的表达形式，从而可以非常简单的描述问题，使求解问题的方法规范化，便于编制计算机程序，并且充分利用了计算机的高速运算和大量存储功能。

3、方法优越。对于存在非常复杂的因素组合时候，比如不均匀的材料特性、任意的边界条件、复杂的几何形状等混杂在一起的时候，有限元法都能灵活的处理和求解。

4、应用范围广。有限元法不仅能解决结构力学,弹性力学中的各种问题,而且随着其理论基础与方法的逐步改进与成熟,还可以广泛地用来求解热传导、流体力学及电磁场等其他领域的诸多问题。不仅如此,在所有连续介质问题和场问题中,有限元法都得到了很好的应用。

扩展资料：

有限元方法的核心思想

有限元法（Finite Element Method）是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学，数学中的带有特定边界条件的偏微分方程问题（PDE）。而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。

有限元和计算机发展共同构成了现代计算力学（Computational Mechanics）的基础。有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。

1、“数值近似”

由于在有限元法被发明之前，所有的力学问题和工程问题中出现的偏微分方程只能依靠单纯的解析解（Analytical Solution）得到解答。这种方法对数学要求很高，而且非常依赖于一些理想化的假定（Assumption）。

比如在土木工程中梁柱计算中出现的平截面假定，小应变假定，理想塑性假定。这些假定其实是和实际工程问题有很大偏差的，而且一旦工程问题稍微复杂一些我们就不能直接得到解析解，或者解析解的答案误差过大。

而有限元法把复杂的整体结构离散到有限个单元（Finite Element），再把这种理想化的假定和力学控制方程施加于结构内部的每一个单元，然后通过单元分析组装得到结构总刚度方程，再通过边界条件和其他约束解得结构总反应。

总结构内部每个单元的反应可以随后通过总反应的一一映射得到，这样就可以避免直接建立复杂结构的力学和数学模型了。其总过程可以描述为：

总结构离散化 — 单元力学分析 — 单元组装 — 总结构分析 — 施加边界条件 — 得到结构总反应 — 结构内部某单元的反应分析

在进行单元分析和单元内部反应分析的时候，形函数插值（shape function interpolation）和高斯数值积分（Gaussian Quadrature）被用来近似表达单元内部任意一点的反应，这就是有限元数值近似的重要体现。

一般来说，形函数阶数越高，近似精度也就越高，但其要求的单元控制点数量和高斯积分点数量也更多。另外单元划分的越精细，其近似结果也更加精确。但是以上两种提高有限元精度的代价就是计算量几何倍数增加。

为了提高数值近似精度同时尽量较少地提高计算量，有限元法经历了很多发展和改良。下图就是一典型的有限元问题，因为模型中间空洞部分几何不规则性，结构用有限三角单元划分。

由于在靠外区域，结构反应变化程度不是很大，因此划分的单元比较大和粗糙，而在内部，应力变化比较大，划分也比较精细。而在左边单元划分最密区域，有应力集中现象（如裂纹问题的奇异解现象），所以又有相应的高级理论（比如non-local theory）来指导这部分的单元应力应变计算。

结构被选择性地离散，和高级理论构成了有限元发展的主要研究方向。

2.、“离散化”

离散化和相应单元特性和收敛研究也是有限元中一个重要研究领域，总的来说，有限单元和他们组装成的总体结构主要分为：

1-D 单元 (1-D element) 杆单元 (bar element) ------ 桁架 (truss) 梁单元 (beam element) ------ 框架 (frame) 板单元 (plate element) ------ 壳体 (shell)

2-D单元 (2-D element) ------ 平面应力体 (plain stress) 和平面应变体 (plain strain) 三角单元 (triangle element) 四边形单元 (quadrilateral element) 多边形单元 (polygonal element)

3-D 单元 (3-D element) ----- 立体结构 (3-D problem) 三角体 (tetrahedrons element) 立方体单元 (hexahedrons element) 多边体单元 (polyhedrons element)

具体的分类和单元形状见下图

可以看到每种单元又可以提高形函数的阶数（控制点 node 数量）来提高精度。很多有限元研究也集中在这个领域。

比如研究新的单元引用于结构动力反应以减小数值震荡，比如用3-D单元去模拟梁单元等等。其实理论上来说这个领域可以有无限可能，因为对精度和数值稳定的追求可以是无限的。

3、 “光滑边界” 和与CAD的交互问题

其实这个算不上有限元的核心思想，不过是现在有限元研究热的不能再热的领域了，就是Hughes提出的“NURBS”有限元法，它的原理是用空间样条曲线来划分单元。

如第一幅图所示，传统的有限元在处理不规则边界的时候一般都是较多的单元和用三角单元，多边形单元来解决，而且单元控制点都是和单元在一个平面上。

而NURBS 单元的控制点脱离了单元本身，并且利用B-spline理论上可以把单元的光滑程度（continuity）提高到无限，而且不会显著提高计算量。

发展NURBS的另外一个好处是，在建模中常用的CAD软件是用B-spline来进行模型建立基础的，而NURBS 正好也是用用B-spline作为basis。

所以CAD和NURBS的交互可以非常简单和高效的，甚至可以说是无缝连接。因此在工业界中十分复杂的模型都可以用CAD进行建模，再用NURBS进行有限元计算，如下图。

现在成吨的有限元paper都来自这个领域，因为有限元的基本理论基本已经成熟和robust，利用高性能计算机进行大尺度（large-scale）和高复杂结构模拟也是有限元发展的一个主要方向。

参考资料：百度百科“有限元法”

有限元中总体刚度矩阵有哪些特点

在有限元法中简述有限元法结构刚度矩阵的特点，求总体刚度矩阵简述有限元法结构刚度矩阵的特点的方法有两种。一种是直接利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵；第二种是由单元刚度矩阵按节点的顺序编号叠加而成简述有限元法结构刚度矩阵的特点，而建立单元刚度矩阵的方法有直接刚度法、虚功原理法、能量变分法等等。以上两种方法都应用到叠加原理。